Algorytm ten potrafi określić, które sekwencje liczbowe uznają za interesujące dla człowieka

Jedną z ciekawych właściwości matematyki jest jej piękno. Ale dokładnie to, co matematycy rozumieją przez piękno, jest trudne do uchwycenia.

Być może najbardziej znanym przykładem jest relacja Eulera, e i π + 1 = 0, co ujawnia głęboki związek między pozornie niepowiązanymi obszarami matematyki. Na przykład |_+_| pochodzi z geometrii, i oraz i pochodzą z algebry, a prymitywy 0 i 1 wraz z operacjami + i = pochodzą z teorii liczb. To, że są ze sobą powiązane w tak prosty i nieoczekiwany sposób, jest jednym z wielkich cudów świata matematycznego.

A to wskazuje na inny składnik matematycznego piękna: wzory matematyczne muszą być w jakiś sposób interesujące. Rozpoznawanie tych interesujących wzorów zawsze było wyłącznie ludzką umiejętnością.

Jednak w ostatnich latach maszyny stały się niezwykle wydajnymi narzędziami do rozpoznawania wzorów. Rzeczywiście, zaczęli przewyższać ludzi pod względem rozpoznawania twarzy, rozpoznawania obiektów, a także różnych ról w grach.

A to rodzi interesującą możliwość: czy algorytmy uczenia maszynowego mogą identyfikować interesujące lub eleganckie wzorce w matematyce? Czy mogą być w ogóle arbitrami matematycznego piękna?

Dziś otrzymujemy pewnego rodzaju odpowiedź dzięki pracy Chai Wah Wu w IBM TJ Watson Research Center w stanie Nowy Jork. Wu zbudował algorytm uczenia maszynowego, który nauczył się rozpoznawać pewne rodzaje elegancji w strukturach matematycznych i używał go do filtrowania interesujących sekwencji od całkowicie losowych.

Technika wykorzystuje niezwykłą bazę danych o nazwie Internetowa encyklopedia ciągów liczb całkowitych , pierwotnie stworzony w latach 60. przez matematyka Neila Sloane'a i umieszczony w sieci w 1996 roku.

Sekwencja liczb całkowitych to szereg liczb uporządkowanych zgodnie z regułą. Znane przykłady obejmują liczby pierwsze — liczby, które można podzielić tylko przez siebie i 1 ( A000040 ); ciąg Fibonacciego, w którym każdy wyraz jest sumą dwóch poprzednich wyrazów ( A000045 ); a nawet trywialne przykłady, takie jak sekwencja liczb nieparzystych lub liczby pierwsze zaczynające się na 7.

Rzeczywiście, matematycy, którzy prowadzą OEIS, szeroko zarzucili sieć w poszukiwaniu interesujących sekwencji, a zatem włączyli szeroką gamę przykładów o czysto kulturowym znaczeniu. Należą do nich liczby pierwsze, które zawierają ciąg 666, czyli tak zwaną liczbę bestii.

Baza danych zawiera nawet ciąg liczb pierwszych zawierających liczbę 667 ( A138563 ). Liczba ta została uznana za znaczącą, ponieważ w powszechnych faksach ludzie często mieli numer faksu, który był ich numerem telefonu plus 1. Innymi słowy, jeśli ich numer telefonu to 123-4567, ich numer faksu byłby 123-4568. Zgodnie z tym sposobem myślenia, 667 to numer faksu bestii, a więc ma znaczenie kulturowe (w końcu redaktorzy są ludźmi).

Dziś baza danych Integer Sequence zawiera około 300 000 sekwencji, a codziennie nowe są nadsyłane zarówno przez amatorów, jak i profesjonalistów, z których wiele wskazuje na nowe i interesujące problemy w matematyce.

Zadanie, którego podjął się Wu, polegało na znalezieniu sposobu na odróżnienie tych interesujących sekwencji od losowo generowanych. Jego pomysł polegał na znalezieniu praw empirycznych, które mogą działać jako miary ciekawości, które mogłyby odróżnić je od nieciekawych.

Prawa empiryczne nie są twierdzeniami matematycznymi jako taki ale są to empiryczne obserwacje relacji, które wydają się mieć zastosowanie do wielu naturalnych i stworzonych przez człowieka zbiorów danych, mówi Wu. Przykładami są prawo Moore'a w elektrotechnice i zasada 80/20 Pareto w ekonomii. Nie jest w pełni zrozumiałe, dlaczego te prawa obowiązują, ale mimo to obowiązują.

Jedną z zasad empirycznych, która ma zastosowanie do wielu zbiorów danych, jest prawo Benforda. Zostało to odkryte przez kanadyjskiego matematyka i astronoma Simona Newcomba w 1881 roku. Newcomb zauważył, że wcześniejsze strony w księgach tablic logarytmicznych były częściej zapisywane niż strony późniejsze, co sugeruje, że logarytmy zaczynające się od cyfry 1 były bardziej powszechne.

To doprowadziło go do sformułowania zasady, że w dowolnym zestawie danych więcej liczb zaczyna się od 1 niż jakakolwiek inna liczba. Ten sam pomysł został ponownie odkryty i spopularyzowany przez Franka Benforda w latach 30. XX wieku.

Prawo Benforda ma zastosowanie do szerokiego zakresu zbiorów danych, takich jak rachunki za prąd, adresy, ceny akcji i tak dalej. Jest tak przewidywalny, że można go wykorzystać do wykrywania oszustw na rachunkach finansowych. Nie dotyczy to jednak ciągów losowych. Dokładnie dlaczego nie jest jasno zrozumiałe.

Rzeczywiście, matematycy odkryli coś w rodzaju zagadki, że prawo Benforda stosuje się do niektórych sekwencji liczb całkowitych. Ale jak szeroko ma to zastosowanie w tych sekwencjach?

Aby się tego dowiedzieć, Wu zmierzył, jak dobrze prawo przewiduje rozkład pierwszych cyfr w 40 000 sekwencji losowo wybranych z bazy danych OEIS.

Okazuje się, że prawo Benforda pojawia się znacznie częściej niż się spodziewano. Wyniki pokazują, że wiele, ale nie wszystkie sekwencje spełniają w pewnym stopniu prawo Benforda, mówi Wu, który odkrył, że inna zasada empiryczna, zwana prawem Taylora, była również szeroko obecna.

Następne pytanie było prostym krokiem dalej: czy prawo Benforda i prawo Taylora można wykorzystać do odróżnienia ciągów losowych od tych w OEIS?

Aby się tego dowiedzieć, Wu wygenerował 40 000 sekwencji losowych liczb całkowitych i dodał je do 40 000 sekwencji wybranych z OEIS. Następnie wyszkolił algorytm uczenia maszynowego, aby wykrywać sekwencje OEIS za pomocą prawa Benforda i prawa Taylora i odróżniać je od sekwencji losowych.

Wyniki są imponujące. Algorytm działał z dokładnością 0,999 i dokładnością 0,9984. To ważne, ponieważ stwarza możliwość zautomatyzowanego procesu dostrzegania interesujących sekwencji.

Jedna aplikacja jest natychmiast widoczna. Matematycy, którzy prowadzą OEIS, muszą obecnie przetwarzać około 10 000 zgłoszeń rocznie. Przydałby się więc sposób na automatyczne wykrywanie najciekawszych.

Podejście to ma jednak pewne istotne ograniczenia. Matematycy zdefiniowali wiele interesujących i ważnych ciągów, które mają nieskończoną liczbę terminów, ale są trudne do obliczenia. W związku z tym baza danych zawiera tylko kilka z tych terminów. Oczywiście nie nadają się one do tego rodzaju analizy maszynowej.

Szersze pytanie brzmi, czy takie podejście może zidentyfikować elegancję lub piękno w matematyce. Jak pyta Wu: Czy uczenie maszynowe może identyfikować jakościowe atrybuty wiedzy naukowej; tj. czy możemy stwierdzić, czy wynik naukowy jest elegancki, prosty czy interesujący?

Ten cel może nie być całkowicie daremny. Jeśli prawa empiryczne, takie jak Benforda i Taylora, są wskaźnikiem ciekawości, jak sugeruje ta praca, to być może ten algorytm można traktować jako arbitra elegancji, przynajmniej na pewnym poziomie.

Euler, pochodzący z tytułowego związku i jeden z największych matematyków w historii, z pewnością byłby zafascynowany.

Nr ref.: https://arxiv.org/abs/1805.07431 Czy uczenie maszynowe może identyfikować interesującą matematykę? Eksploracja z wykorzystaniem empirycznie obserwowanych praw

ukryć