Ciekawa matematyka reakcji łańcuchowych domina

Prawdopodobnie widziałeś efekt domina w akcji, w którym rząd stojących płyt kolejno przewraca się. Zazwyczaj wszystkie domino mają ten sam rozmiar, ale przewracające się domino ma wystarczająco dużo rozpędu, aby przebić się nad większym. Można więc ustawić rząd coraz większych kostek domina, które można przewrócić na początku przez naciśnięcie malutkiej płyty – reakcja łańcuchowa domina.

Oto ciekawe pytanie. O ile większe może być każde kolejne domino?

Dzisiaj JMJ van Leeuwen z Leiden University w Holandii bierze ten problem za kark i dobrze go matematycznie potrząsa. Okazuje się, że odpowiedź – maksymalny czynnik wzrostu – nie jest tak prosta, jak mógłby sugerować problem.

Istnieją różne filmy, takie jak ten , w Internecie, które dają dobrą demonstrację efektu reakcji łańcuchowej. Standardowe myślenie jest takie, że domino może przewrócić inne około 1,5 raza większe, pod warunkiem, że odległość między nimi jest optymalna.

Podstawowa fizyka jest prosta. Postawienie kostki domina na jej końcu przechowuje pewną ilość energii potencjalnej, która jest uwalniana przez przepychanie jej. Jednak siła potrzebna do obalenia domina jest mniejsza niż siła, którą generuje, gdy spada. To właśnie to wzmocnienie siły można wykorzystać do obalenia większych domino.

Ale diabeł tkwi w szczegółach, ponieważ kostki domina tracą energię na różne sposoby, gdy się przewracają. Na przykład przewracające się domino opada na sąsiada. Tak więc zderzenia są nieelastyczne, co jest głównym źródłem utraconej energii. W praktyce domino może ślizgać się po podłodze po uderzeniu, co może poważnie utrudnić przewrócenie.

Tak więc van Leeuwen dokonuje szeregu uproszczeń w swojej analizie matematycznej. Zakłada, że ​​tarcie między ziemią a kostkami domina jest praktycznie nieskończone, więc nie mogą się ślizgać. Zakłada, że ​​zderzenia są całkowicie nieelastyczne, więc kostki domina pozostają ze sobą w kontakcie, gdy się zderzają. Zakłada również, że po zetknięciu się ze sobą domino ślizgają się po sobie bez tarcia.

Biorąc pod uwagę te założenia, pokazuje następnie, że przy optymalnych odstępach każde kolejne domino może być nie więcej niż około dwa razy większe od poprzedniego, co oznacza maksymalny współczynnik wzrostu nie większy niż około 2.

To znacznie więcej, niż zakładano w przeszłości. Przyznaje, że osiągnięcie tego limitu jest prawdopodobnie nierealne w praktyce, ponieważ założenia nigdy nie mogą się idealnie utrzymać. Na przykład domino zawsze będzie spadać o niewielką ilość.

Niemniej jednak nawet współczynnik wzrostu 1,5 prowadzi do pewnych niezwykłych reakcji łańcuchowych. Seria 13 kostek domina, które rosną w tym tempie, zwiększy siłę potrzebną do wypchnięcia najmniejszego rzędu 2 miliardy razy. I nie potrzeba szczególnie długich serii, zanim największe kostki domina będą miały rozmiary drapaczy chmur.

Zabawna matematyka!

Nr ref.: arxiv.org/abs/1301.0615 : Powiększenie Domino

ukryć