Jak zamienić złożoną matematykę rachunku wektorowego w proste obrazy?

W 1948 r. w czasopiśmie „Physical Review” opublikowano artykuł zatytułowany: Podejście czasoprzestrzenne do elektrodynamiki kwantowej przez młodego fizyka R.P. Feynmana z Cornell University. W artykule opisano nowy sposób rozwiązywania problemów elektrodynamiki za pomocą macierzy. Dziś jednak pamięta się go z powodu znacznie potężniejszego wynalazku – diagramu Feynmana, który po raz pierwszy pojawił się tam w druku.

Diagramy Feynmana miały ogromny wpływ na fizykę. Są to obrazowe reprezentacje matematyki, które opisują interakcje między cząstkami subatomowymi. Matematycznie każda interakcja jest nieskończoną serią, więc nawet proste interakcje między cząsteczkami są fantastycznie skomplikowane do zapisania w ten sposób.

Geniusz Feynmana polegał na przedstawieniu tych serii za pomocą prostych linii w formacie graficznym, umożliwiając naukowcom myślenie o fizyce cząstek w nowy i ekscytujący sposób.

Feynman i inni natychmiast zaczęli rozszerzać swoje pomysły, używając tego graficznego skrótu. Rzeczywiście, amerykański fizyk Frank Wilcjek, który pracował z Feynmanem w latach 80., napisał kiedyś: Obliczenia, które ostatecznie przyniosły mi Nagrodę Nobla w 2004 roku, byłyby dosłownie nie do pomyślenia bez diagramów Feynmana.

Oczywiście wiele innych dziedzin fizyki opiera się na złożonej matematyce. To rodzi interesujące pytanie, czy innowacje oparte na grafice mogą uprościć te obliczenia i być może zapoczątkować nową erę innowacji, tak jak zrobił to Feynman.

Wejdź do Joon-Hwi Kim z Seoul National University w Korei Południowej i kilku kolegów, którzy wymyślili podobną innowację w zakresie rachunku wektorowego — opartego na grafice skrótu jednego z najpopularniejszych i najpotężniejszych narzędzi matematycznych w nauce. Przewidujemy, że graficzny rachunek wektorowy obniży bariery w nauce i ćwiczeniu rachunku wektorowego, jak mówią diagramy Feynmana w kwantowej teorii pola.

Najpierw trochę tła. Rachunek wektorowy to dział matematyki zajmujący się różniczkowaniem i całkowaniem pól wektorowych. Powodem, dla którego jest tak ważny w fizyce, jest to, że mniej więcej wszystko we wszechświecie można opisać za pomocą pól wektorowych — pól elektromagnetycznych, pól grawitacyjnych, przepływu płynów i tak dalej.

Dlatego każdy absolwent fizyki i inżynierii spędza wiele szczęśliwych godzin na zmaganiu się z matematyką i tajemną notacją, której wymaga. Problem polega na tym, że pola wektorowe są skomplikowanymi bytami — przypisują pojedynczy wektor do każdego punktu w przestrzeni trójwymiarowej i mogą same być reprezentacjami bardziej złożonych obiektów matematycznych zwanych rozmaitościami różniczkowymi. Najprościej więc pole wektorowe może być nieskończoną listą wektorów.

Matematycy reprezentują te pola za pomocą metody zwanej notacją indeksową. Wektor można zapisać jako do gdzie i = 1, 2 lub 3 w przestrzeni trójwymiarowej. Innym sposobem na napisanie tego jest: = [ do jeden, do dwa, do 3].

Problemy pojawiają się, gdy te wielkości oddziałują matematycznie. Pola wektorowe mogą być mnożone przez skalary lub przez siebie na dwa różne sposoby, znane jako iloczyn skalarny i iloczyn krzyżowy. A wyniki mogą być fantastycznie złożone — ogromne, wielowymiarowe macierze.

We wszystkich tych przypadkach indeksy zaangażowanych pól wektorowych muszą być dokładnie śledzone. Każdy fizyk będzie wiedział, jak łatwo jest zgubić indeks i jak ból wiąże się z ponownym jego znalezieniem

Następnie pojawia się wyzwanie polegające na ustaleniu, jak te pola zmieniają się w czasie lub w odniesieniu do jakiejś innej zmiennej. Jest to problem zróżnicowania, dla którego fizycy opracowali szereg narzędzi znanych jako operatory — być może najbardziej znanym jest operator .

Postęp dokonany przez Kima i współpracowników polega na opracowaniu notacji graficznej, która zastępuje notację indeksową. Reprezentują wektor jako pudełko z dołączoną do niego linią. Natomiast skalar nie ma linii wychodzących z niego.

Kiedy dwa wektory mnożą się przez iloczyn skalarny, wynikiem jest wielkość skalarna. Notacja Kim i co zajmuje się tym automatycznie. W iloczynie skalarnym linie skojarzone z dwoma wektorami łączą się ze sobą, tworząc obiekt bez linii zewnętrznych — innymi słowy, skalar.

Ale iloczyn krzyżowy między dwoma wektorami tworzy inny wektor, i znowu notacja Kima i co obsługuje to automatycznie. Grafika produktu krzyżowego ma kształt litery Y, a linie z dwóch wektorów łączą się z trzecim, który rozciąga się dalej. Innymi słowy, tworzy to wektor.

To dopiero początek. Naukowcy opisują następnie szereg innych narzędzi matematycznych, takich jak operator del, oraz różne ważne tożsamości wykorzystywane w rachunku wektorowym. I rozszerzają swoje pomysły na tensory, które są bardziej złożonymi obiektami matematycznymi, z których każdy ma dwa lub więcej indeksów.

Wyniki pokazują niezwykłą ekonomię. Kim i współpracownicy pokazują, jak ich notacja przekształca złożone wyrażenia matematyczne w stosunkowo prostą grafikę, podobnie jak diagramy Feynmana. Mówi się, że język jest wysoce intuicyjny i automatycznie upraszcza wyrażenia tensoryczne.

Tutaj jest znaczna użyteczność. Kim i współpracownicy twierdzą, że ich podejście zmienia rachunek pola wektorowego w zadanie wizualne, przypominające budowanie z klocków Lego. Jako dziecko bawiące się zabawkami edukacyjnymi, takimi jak klocki Lego lub magnetyczne kije do budowania, będzie to zabawne doświadczenie „bazgrać z diagramami tańca”, mówią. Ponieważ diagramy Feynmana są najbardziej naturalnym językiem opisującym mikroskopijny proces cząstek elementarnych, notacja graficzna jest kanonicznym językiem systemu rachunku wektorowego.

To wielkie roszczenie z ogromnym potencjałem. Nie ma wątpliwości, że diagramy Feynmana zmieniły sposób myślenia fizyków o fizyce cząstek elementarnych. Ale rachunek wektorowy ma jeszcze większy zasięg jako matematyczny fundament większości współczesnej fizyki i inżynierii.

Wielkim pytaniem jest to, jak szeroko rozprzestrzenią się idee. To określi, czy ta notacja graficzna wywoła transformacyjną zmianę w sposobie, w jaki myślimy o fizyce, czy też stworzy ciekawy przypis w historii wynalazków matematycznych. Tak czy inaczej, Feynman z pewnością byłby rozbawiony.

Nr ref.: arxiv.org/abs/1911.00892 : Wzmacnianie rachunku wektorowego za pomocą notacji graficznej

ukryć