„Komputer nieskończoności” dokładnie oblicza powierzchnię dywanu Sierpińskiego

Dywan Sierpinksi jest jednym z bardziej znanych obiektów fraktalnych w matematyce. Tworzenie jednego to procedura iteracyjna. Zacznij od kwadratu, podziel go na dziewięć równych kwadratów i usuń środkowy. To pozostawia osiem kwadratów wokół centralnego kwadratowego otworu.

W następnej iteracji powtórz ten proces z każdym z pozostałych ośmiu kwadratów i tak dalej (patrz wyżej).

Ciekawym problemem jest znalezienie obszaru trójkąta Sierpińskiego. Oczywiście zmienia się to z każdą iteracją. Zakładając, że pierwotny kwadrat ma powierzchnię równą 1, powierzchnia po pierwszej iteracji wynosi 8/9. Po drugiej iteracji jest (8/9)^2; po trzecim jest (8/9)^3 i tak dalej.

Zatem powierzchnia dywanu Sierpińskiego po n iteracjach wynosi (8/9)^n. To proste.

Ale jaka jest powierzchnia dywanu po nieskończonej liczbie iteracji?

Zwykła matematyka nie ma odpowiedzi na to pytanie, ponieważ brakuje jej narzędzi do obsługi nieskończoności. Zamiast tego matematycy przyglądają się właściwościom systemu matematycznego i temu, jak się zachowuje, gdy dąży do nieskończoności. Mają nawet mnóstwo formalnych narzędzi do eksploracji tych granic. Ale należy założyć właściwości w nieskończoności.

W tym przypadku powierzchnia dywanu dąży do zera, ponieważ liczba iteracji dąży do nieskończoności, więc powierzchnia dywanu Sierpińskiego wynosi zero.

To pozostawia wielu matematykom kwaśny posmak w ustach. Powodem jest to, że obszar dywanu Sierpińskiego bliski nieskończoności powinien być bardzo wrażliwy na jego pierwotny kształt, czy to kwadrat, czy inny wzór. Ale proces znajdowania granic zaciera to zachowanie.

Na przykład, zamiast zaczynać od kwadratu, wyobraź sobie, że zaczynając od kształtu w lewym górnym rogu figury powyżej, nazwijmy to kwadratowym pączkiem. Kwadratowy pączek składa się z ośmiu kwadratów, każdy o bokach długości 1/3. Oczywiście powierzchnia tego dywanu Sierpinksi ma tendencję do zera, podczas gdy n ma tendencję do nieskończoności.

Ale kwadratowy dywan w kształcie pączka jest o krok przed tradycyjnym dywanem Sierpińskiego, ale to się gubi w tradycyjnym podejściu. W nieskończoności są traktowane jako równe.

Jeśli to nie brzmi zbyt znacząco, wyobraź sobie, że proces przebiega w odwrotnej kolejności, zaczynając od nieskończoności i pracując wstecz, aż do uzyskania kwadratu lub kwadratowego pączka lub innego kształtu w sekwencji dywanu.

W takim przypadku każdy kształt można utworzyć za pomocą tej samej (nieskończonej) liczby kroków, więc nie można ich rozróżnić. To wyraźnie absurdalne.

Dzisiaj Jarosław Siergiejew, matematyk z Uniwersytetu w Kalabrii we Włoszech, rozwiązuje ten problem (i analogiczną trójwymiarową wersję zwaną gąbką Mengera).

Od kilku lat Siergiejew jest orędownikiem nowego rodzaju matematyki, zwanego obliczeniami nieskończoności. Podstawowym pomysłem jest zastąpienie pojęcia nieskończoności nową liczbą, którą Siergiejew nazywa grossone, którą pisze w ten sposób:

Siergiejew zaczyna od dodania nowego aksjomatu do aksjomatu liczb rzeczywistych, który nazywa aksjomatem nieskończonej jednostki. To wprowadza Grossone – nieskończoną jednostkę.

Ponieważ rządzi się innymi aksjomatami liczb rzeczywistych, grossone też zachowuje się podobnie. Tak więc możliwe jest pomnożenie brutto, dzielenie go, dodawanie do niego i odejmowanie od niego, tak jak jest to możliwe w przypadku innych liczb rzeczywistych.

To nagle znacznie ułatwia pracę w nieskończoności dzięki zastosowaniu procesu obliczeniowego, który Siergiejew nazywa komputerem nieskończoności, który ma wbudowany dodatkowy aksjomat. Wprowadzenie grossone daje możliwość pracy ze skończonymi, nieskończonymi i nieskończenie małymi ilościami, mówi.

Aby pokazać jego moc, analizuje podane powyżej przykłady dywanu Sierpińskiego, ujawniając, w jaki sposób można śledzić liczbę iteracji w nieskończoności, po prostu dodając lub odejmując liczby rzeczywiste od Grossone. Jeśli kwadrat można utworzyć w krokach Grossone, kwadratowy pączek można utworzyć w -grossone minus 1 kroki. W ten sposób łatwo jest rozróżnić dowolne kształty w sekwencji dywanu.

To wygląda na przydatne. Niemożność śledzenia procesów matematycznych w nieskończoności lub blisko nieskończoności w spójny sposób frustruje matematyków i fizyków od wieków.

Więc jeśli Siergiejew znalazł sposób na obejście tego, który działa, jest to wyraźnie bardzo znaczący postęp.

Nr ref.: arxiv.org/abs/1203.3150 : Ocena dokładnych nieskończonych wartości powierzchni dywanu Sierpińskiego i objętości gąbki Mengera

ukryć