Nowy sposób na łatwe tworzenie równań kwadratowych

Starożytni Babilończycy byli niezwykłą grupą. Wśród wielu niezwykłych osiągnięć znaleźli słynne matematyczne rozwiązanie nieprzyjemnego wyzwania: płacenie podatku.

Szczególny problem dla zwykłego pracującego Babilończyka był taki: Biorąc pod uwagę podatek, który trzeba zapłacić od upraw, o ile powinienem powiększyć pole, aby go zapłacić?

Problem ten można zapisać jako równanie kwadratowe postaci Ax2+Bx+C=0. I jest to rozwiązane za pomocą tego wzoru:

Dzisiaj, ponad 4000 lat później, miliony ludzi mają wzór kwadratowy wyryty w swoich umysłach dzięki sposobowi nauczania matematyki na całej planecie.

Ale znacznie mniej osób potrafi wyprowadzić to wyrażenie. Wynika to również ze sposobu, w jaki naucza się matematyki – zwykłe wyprowadzanie opiera się na matematycznej sztuczce zwanej dopełnianiem do kwadratu, która jest daleka od intuicji. Rzeczywiście, po Babilończykach matematycy natknęli się na ten dowód przez wiele stuleci.

Przed i od tego czasu matematycy znaleźli wiele innych sposobów na wyprowadzenie wzoru. Ale wszystkie z nich są również podchwytliwe i nieintuicyjne.

Łatwo więc sobie wyobrazić, że matematycy musieli wyczerpać problem. Po prostu nie może być lepszego sposobu na wyprowadzenie wzoru kwadratowego.

Oto Po-Shen Loh, matematyk z Carnegie Mellon University w Pittsburghu, który znalazł prostszy sposób — taki, który wydaje się niezauważany przez te 4000 lat.

Podejście Loh nie polega na wypełnianiu kwadratu ani żadnych innych trudnych matematycznych sztuczkach. Rzeczywiście, sama praca jako ogólna metoda jest dość prosta, co oznacza, że ​​uczniowie w ogóle nie muszą pamiętać formuły. To wyprowadzenie ma potencjał do odczarowania wzoru kwadratowego dla studentów na całym świecie, mówi.

Nowe podejście jest proste. Zaczyna się od obserwacji, że jeśli równanie kwadratowe może być faktoryzowane w następujący sposób:

Wtedy prawa strona równa się 0, gdy x=R lub gdy x=S. Wtedy to byłyby korzenie kwadratu.

Pomnożenie prawej strony daje

Dzieje się tak, gdy -B=R+S i C=RS.

Teraz nadchodzi sprytny fragment. Loh wskazuje, że liczby R i S sumują się do -B, gdy ich średnia wynosi -B/2.

Więc szukamy dwóch liczb postaci -B/2±z, gdzie z jest pojedynczą nieznaną wielkością, mówi. Następnie możemy pomnożyć te liczby przez siebie, aby otrzymać wyrażenie na C. Więc

Potem daje proste przearanżowanie

Co oznacza, że ​​rozwiązaniem równania kwadratowego jest:

Voila! To jest wzór kwadratowy.

[Ogólną wersję można wyprowadzić dzieląc równanie Ax2+Bx+C=0 przez A, aby otrzymać x2+B/Ax+C/A=0, a następnie powtarzając powyższy proces.]

To bardzo znacząca poprawa w stosunku do poprzedniej metody, a Loh pokazuje dlaczego na prostym przykładzie.

Znajdź pierwiastki następującej liczby kwadratowej: x2 - 2x+4=0

Tradycyjną metodą byłoby obliczenie wartości A, B i C i wstawienie ich do wzoru kwadratowego. Ale podejście Loh intuicyjnie rozwiązuje problem. Pierwszym krokiem jest myślenie, że dwa pierwiastki równania muszą być równe -B/2±z = 1±z

A ponieważ ich iloczyn musi wynosić C=4, możemy napisać:

Więc korzenie są

Próba rozwiązania tego samego problemu metodą tradycyjną jest znacznie trudniejsza. Dalej, spróbuj! Nowe podejście jest znacznie prostsze i bardziej intuicyjne, nie tylko dlatego, że w ogóle nie wymaga zapamiętywania formuły.

Ciekawym pytaniem jest, dlaczego nikt wcześniej nie natknął się na tę metodę i nie udostępnił jej szeroko.

Loh mówi, że „byłby naprawdę bardzo zdziwiony, gdyby takie podejście całkowicie wymykało się ludzkim odkryciom aż do dnia dzisiejszego, biorąc pod uwagę 4000-letnią historię tego tematu oraz miliardy ludzi, którzy zetknęli się z tą formułą i jej dowodami. Jednak ta technika z pewnością nie jest szeroko nauczana ani znana”.

Loh bezskutecznie przeszukiwał historię matematyki w poszukiwaniu podejścia, które przypomina jego. Przyjrzał się metodom opracowanym przez starożytnych Babilończyków, Chińczyków, Greków, Hindusów i Arabów, a także współczesnych matematyków od renesansu do dnia dzisiejszego. Wydaje się, że żaden z nich nie zrobił tego kroku, mimo że algebra jest prosta i znana od wieków.

Więc dlaczego teraz? Loh uważa, że ​​ma to związek ze sposobem, w jaki konwencjonalne podejście dowodzi, że równania kwadratowe mają dwa pierwiastki. Być może powodem jest to, że w rzeczywistości matematycznie nietrywialne jest wykonanie odwrotnej implikacji: to zawsze ma dwa pierwiastki i że te pierwiastki mają sumę -B i iloczyn C, mówi.

Loh, który jest nauczycielem matematyki i pewnym popularyzatorem, odkrył swoje podejście podczas analizowania programów nauczania matematyki dla uczniów w celu opracowania nowych wyjaśnień. Pochodzenie wyłoniło się z tego procesu.

Teraz pytanie brzmi, jak szeroko się rozprzestrzeni i jak szybko. Aby przyspieszyć adopcję, Loh wyprodukował film o tej metodzie . Tak czy inaczej, babilońskie kalkulatory podatkowe z pewnością byłyby pod wrażeniem.

Nr ref.: arxiv.org/abs/1910.06709 : Prosty dowód wzoru kwadratowego

Poprawka: Zmieniliśmy zdanie, aby powiedzieć, że metoda nigdy wcześniej nie była szeroko rozpowszechniana i zawieramy cytat z Loh.

ukryć