211service.com
Pierwsza aperiodyczna płytka o jednym kształcie
Problem kafelkowania samolotu od niepamiętnych czasów fascynował zarówno budowniczych, jak i matematyków. Na pierwszy rzut oka zadanie jest proste: kwadraty, trójkąty, heksagony sprawdzą się, tworząc dobrze znane struktury okresowe. To samo dotyczy dowolnej liczby nieregularnych kształtów i ich kombinacji.
O wiele trudniejszym pytaniem jest pytanie, które kształty mogą układać płaszczyznę we wzór, który się nie powtarza. W 1962 roku matematyk Robert Berger odkrył pierwszy zestaw płytek, który załatwił sprawę. Ten zestaw składał się z 20 426 kształtów: nie jest to łatwy zestaw do układania płytek w łazience.
Z ciepłym szacunkiem dla ulepszaczy domu, Berger później zredukował zestaw do 104 kształtów, a inni jeszcze bardziej zredukowali tę liczbę. Dziś najbardziej znane są płytki aperiodyczne Penrose, odkryte na początku lat 70., które mogą pokryć samolot przy użyciu tylko dwóch kształtów: latawców i rzutek.
Problem znalezienia jednej płytki, która może wykonać zadanie, nazywa się problemem einsteina; nie ma nic wspólnego z wielkim człowiekiem, ale od niemieckiego „ein” i „tile-stein”. Ale poszukiwania einsteina okazały się bezowocne. Do teraz.
Dzisiaj Joshua Socolar i Joan Taylor z Duke University ogłaszają, że rozwiązali problem einsteina, a tym samym odkryli zupełnie nowy sposób podejścia do tego problemu.
Odkryta przez nich płytka ma zasadniczo zmodyfikowany kształt sześciokąta. Ale używają kilku sztuczek, aby osiągnąć rezultat. Po pierwsze, pozwalają sobie na użycie kafelka i jego lustrzanego odbicia do kafelkowania samolotu w sposób aperiodyczny.
Oczywiście niektórzy kafelkarze mogą uważać, że to trochę nagina zasady, więc Socolar i Taylor pokazują, że odbicie lustrzane nie jest konieczne, jeśli płytka może mieć kształt 3D (patrz poniżej).
Mówią, że prezentowana tutaj płytka jest jedynym znanym przykładem płytki aperiodycznej.
To imponujący wynik. Po tym, jak Penrose ujawnił swoje aperiodyczne kafelki, fizycy zwrócili uwagę, że niektóre kryształy przyjęły podobne wzory. Ciekawe, czy natura również odkryła rozwiązanie Socolara i Taylora.
Oczywiście praca pozostawia duży problem otwarty: czy da się kafelkować płaszczyznę nie powtarzającym się wzorem za pomocą jednej płytki 2D?
Wyobrażam sobie, że Taylor i Socolar zastanawiają się właśnie nad ścianą łazienki.
Nr ref.: arxiv.org/abs/1003.4279 : Aperiodyczna płytka sześciokątna