Prawo Benforda i teoria wszystkiego

W 1938 roku fizyk Frank Benford dokonał niezwykłego odkrycia dotyczącego liczb. Odkrył, że na wielu listach liczb wylosowanych z rzeczywistych danych, wiodąca cyfra jest znacznie bardziej prawdopodobna jako 1 niż 9. W rzeczywistości rozkład pierwszych cyfr jest zgodny z prawem logarytmicznym. Tak więc pierwsza cyfra prawdopodobnie będzie wynosić 1 w około 30 procentach przypadków, podczas gdy cyfra 9 pojawia się tylko w pięciu procentach.

To niepokojące i sprzeczne z intuicją odkrycie. Dlaczego liczby nie są równomiernie rozmieszczone na takich listach? Jedną z odpowiedzi jest to, że jeśli liczby mają taki rozkład, to musi być niezmiennikiem skali. Zatem zmiana zestawu danych mierzonych w calach na zestaw mierzony w centymetrach nie powinna zmieniać rozkładu. Jeśli tak jest, to jedyną formą, jaką może przyjąć taki rozkład, jest logarytmiczna.

Ale chociaż jest to mocny argument, w ogóle nie wyjaśnia istnienia dystrybucji.

Do tego dochodzi fakt, że prawo Benford wydaje się mieć zastosowanie tylko do niektórych rodzajów danych. Fizycy odkryli, że pojawia się w zdumiewającej różnorodności zestawów danych. Oto tylko kilka: obszary jezior, długości rzek, stałe fizyczne, indeksy giełdowe, rozmiary plików w komputerze osobistym i tak dalej.

Istnieje jednak wiele zbiorów danych, które nie są zgodne z prawem Benforda, takich jak loteria i numery telefonów.

Jaka jest różnica między tymi zestawami danych, która sprawia, że ​​prawo Benforda ma zastosowanie, czy nie? Trudno uciec od wrażenia, że ​​dzieje się coś głębszego.

Dzisiaj Lijing Shao i Bo-Qiang Ma z Uniwersytetu Pekińskiego w Chinach zapewniają nowy wgląd w naturę prawa Benforda. Badają, w jaki sposób prawo Benforda odnosi się do trzech rodzajów rozkładów statystycznych szeroko stosowanych w fizyce.

Są to: rozkład Boltzmanna-Gibbsa, który jest miarą prawdopodobieństwa używaną do opisu rozkładu stanów układu; rozkład Fermiego-Diraca, który jest miarą energii pojedynczych cząstek, które podlegają zasadzie wykluczenia Pauliego (tj. fermionów); i wreszcie rozkład Bosego-Einsteina, miara energii pojedynczych cząstek, które nie przestrzegają zasady wykluczenia Pauliego (tj. bozonów).

Lijing i Bo-Qiang twierdzą, że rozkłady Boltzmanna-Gibbsa i Fermi-Diraca zmieniają się okresowo wokół rozkładu Benforda w odniesieniu do temperatury układu. Z drugiej strony rozkład Bosego Einsteina jest zgodny z prawem Benforda dokładnie niezależnie od temperatury.

Co zrobić z tym odkryciem? Lijing i Bo-Qiang twierdzą, że rozkłady logarytmiczne są ogólną cechą fizyki statystycznej i dlatego mogą być bardziej fundamentalną zasadą stojącą za złożonością natury.

To intrygujący pomysł. Czy to możliwe, że prawo Benforda wskazuje na jakąś podstawową teorię, która rządzi naturą wielu systemów fizycznych? Być może.

Ale co z zestawami danych, które nie są zgodne z prawem Benforda? Każde przyzwoite wyjaśnienie będzie musiało wyjaśniać, dlaczego niektóre zbiory danych są zgodne z prawem, a inne nie, i wydaje się, że Lijing i Bo-Qiang są od tego jak najdalej.

Nr ref.: arxiv.org/abs/1005.0660 : Prawo dotyczące znaczących cyfr w fizyce statystycznej

ukryć